Un insieme è infinito quando può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme
proprio. In altri termini un insieme è infinito quando il tutto ha la stessa "numerosità" di una
sua parte.
L'insieme dei naturali {1, 2, 3, ...} è in corrispondenza biunivoca, ad esempio, con
l'insieme dei numeri pari {2, 4, 6, ...} e tale corrispondenza si può descrivere con
l'espressione analitica y=2x. Ciò vuol dire che i pari sono "tanti quanti" tutti i
numeri naturali.
L'insieme dei naturali {1, 2, 3, ...} è in corrispondenza biunivoca, ad esempio, con
l'insieme dei numeri più grandi di 1, cioè {2, 3, 4, ...}, e tale corrispondenza si può
descrivere con l'espressione analitica y=x+1. Ciò vuol dire ancora che i numeri naturali
sono "numerosi" quanto una parte propria.
Questa proprietà contraddistingue gli insiemi infiniti.
L'insieme degli insetti è evidentemente finito: ciascun insetto occupa un volume che è
una porzione, per quanto piccola, del volume dello spazio terrestre che, per quanto
grande, è limitato. Il limite al numero di insetti è dato dal rapporto tra questi due
volumi: un numero assai grande.
Riferendoci alla nostra definizione di insieme infinito possiamo fare questa considerazione:
indicato con i un particolare insetto, è evidentemente impossibile mettere in corrispondenza
biunivoca I e I—{i}, ovvero formare accoppiamenti (x,y) con xÎI e yÎI—{i} che
esauriscano i due insiemi.
La definizione è equivalente. Se A—{a}, cioè A tolto un suo elemento a, è infinito, evidentemente
anche A lo sarà. Infatti se A—{a} ha la stesso numerosità di una sua parte B, A avrà la stessa
numerosità di B U {a}. Viceversa se A è infinito, cioè se A ha la stesso numerosità di una sua parte B,
A—{a} avrà la stessa numerosità di B—{a}.
L'insieme R è infinito, contenendo un insieme infinito, quello dei numeri naturali.
Comunque R può essere messo in corrispondenza biunivoca ad esempio con l'intervallo ]0,1[,
come indicato nella seguente figura.
Tuttavia N non può esser messo in corrispondenza biunivoca nemmeno con l'intervallo di
numeri reali ]0,1[.
Infatti in qualunque modo pensassimo di costruire una tale corrispondenza, in altre parole
un elenco di numeri tra 0 e 1, avrebbe la forma seguente:
0.c1,1c1,2c1,3 ...
0.c2,1c2,2c2,3 ...
0.c3,1c3,2c3,3 ...
...
dove le c sono le cifre decimali.
Ma allora scegliendo le cifre b1 ¹ c1,1, b2 ¹ c2,2, b3 ¹ c3,3, ...
siamo in grado di mostrare un numero non compreso nell'elenco, qualunque esso sia.
Siccome nessun insieme A può essere messo in corrispondenza biunivoca con l'insieme P(A) delle
sue parti, esisteranno infiniti infiniti diversi, ad esempio come
N, P(N), P(P(N)), P(P(P(N))), ...